圆的定义表示方法（关于圆的多种知识整理）

圆形是个十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。

会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆

圆是由一条封闭的曲线所组成。

1. 圆的有关概念：

圆、圆心（字母o表示）、半径（字母r表示）、圆的内部（

到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部）、圆的外部（到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部）、同心圆（圆心相同半径不同的圆）、等圆（能够重合的两个圆叫做等圆）；

弦、直径（字母d表示）、弦心距（圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。）、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；

圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

2. 圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆具有旋转不变性。

3. 圆的确定

不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径

垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

推论1

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 圆周角

定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

7. 圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

※8. 轨迹

轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。

（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；

（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；

（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。