有些几何题,按原有图形很难求解,如果能根据图形的特点,将原图补成特殊图形,如特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、等边三角形;特殊四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形.然后利用特殊图形的性质,使问题得到解决,下面举例加以说明.
【典例1】
已知:如下图,四边形ABCD中,∠DAB=60°,∠B=∠ADC=90°,CD=2,BC=11.求AC的长.
分析:在Rt△ABC中,因已有BC=11,欲求AC,只要求出AB即可.而在原有图形中无法直接求出AB,再次观察图形,发现∠B=90°,∠DAB=60°,故只要延长AD、BC相交于点E(如图1),就可以把原图形补成含30°角的直角三角形,在这个特殊三角形中求出AC容易多了.
也可以延长AB、DC相交于点F(如图2),也可以把原图形补成含30°角的直角三角形,同样,在这个特殊三角形中很容易求出AC.
结合勾股定理,最终可求得AC=14.
点评:若不规则的四边形中有一个内角为90°,一旦出现60°或30°或45°的特殊角,就可以考虑用补形法,将原图补成特殊的直角三角形,然后结合勾股定理等知识进行求解.
另外,本题除了补形法之外,还有其他解法,如在原图中过点C作CM∥AB交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N,然后利用勾股定理分别求出BN和AN的长,进而求得AC,这里不再详细说明.
【典例2】
已知:如下图,五边形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,那么,五边形ABCDE的面积是多少?
解析:因为∠A=∠B=120°,则∠A、∠B的补角均为60°,如下图,延长EA、CB相交于点F,则△ABF为等边三角形,进而可得四边形FCDE为菱形,所求四边形的面积等于菱形面积减去△ABF的面积.
最终可求得五边形ABCDE的面积是7√3.
【典例3】
如下图,六边形的六个内角都是120°,连续四边的长依次是1、3、3、2,求这个六边形的周长.
分析:由于这个六边形的内角均为120°,则其外角都为60°,因此,只要作出相邻内角的外角,就可得含有60°的特殊图形.
解法一:如下图,可将原六边形补成边长为8的等边三角形,根据等边三角形的性质,可求得原六边形的另两边长分别是2和4,因此,原六边形的周长为15.
解法二:如下图,可将原六边形补成边长分别为4和5的平行四边形,根据平行四边形的性质,可求得原六边形的另两边长分别是2和4,因此,原六边形的周长为15.
解法三:如下图,可将原六边形补成边长分别为11/2和2√3的矩形,则此矩形的4个角都是含有30°、60°的直角三角形,由勾股定理可求得每个直角三角形的边,最终可得原六边形的另两边长分别是2和4,因此,原六边形的周长为15.
点评:本题抓住多边形每个角均为120°的特点,将多边形补成等边三角形、平行四边形、矩形,把已知与未知联系在一起,从而找到解题途径.另外,如果多边形的内角为60°或120°,则易将原图形补成一个等边三角形.
【典例4】
已知,如下图,△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D为AB的中点,过B作直线与CD垂直,交AC于点E. 求证:∠ADE=∠CDB.
分析:因为△ABC是等腰直角三角形,因此可将它补成一个正方形ABCF,欲证∠ADE=∠CDB,由于两角没有直接联系,考虑证这两个角都等于某个角,从而使问题得到解决.
证明:如下图,分别过点A、C作AB、BC的垂线,两线相交于F,延长BE交AF于G,则四边形ABCF是正方形.
∵∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2. 在△ABG和△BCD中,∠1=∠2,AB=BC,∠BAG=∠CBD,∴ △ABG≌△BCD ∴ ∠4=∠CDB,AG=BD=AD. 在△AGE和△ADE中,AG=AD,∠6=∠5,AE=AE
∴△AGE≌△ADE. ∴ ∠4=∠ADE,∴∠ADE=∠CDB.
点评:对于等腰直角三角形及含有45°角的三角形来说,根据解题的需要,经常可以将原图形补成正方形,以充分运用正方形、直角三角形的性质来解题.
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