二次根式化简求值例题与求解

【阅读与思考】

1.二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.

2.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是:

(1)、直接代入

直接将已知条件代入待化简求值的式子.

(2)、变形代入

适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.

【数学思想】

数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.

【例题与求解】

【点评】

此题考查二次根式的化简求值，充分利用已知条件是关键，还要注意整体思想的应用.

【点评】

本题考查了二次根式的化简求值:二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰.也考查了分式的混合运算.

【点评】

本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.

【点评】

根据“提示”，将原式的分子拆项变形，进而把原式变为两个代数式的和，约分、分母有理化计算即可.

【解析】

把分子分母利用因式分解的方法变形，然后约分即可.

【点评】

本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

【点评】

本题考查了函数的值的求法，本题的关键是设而不求，属于中档题

【解析】

1.本题考查的是最短线路问题，把求代数式的最小值转化为最短线路问题，利用数形结合解答是解答此类问题的关键.

2.解决问题时需要注意其中涉及的计算问题，仔细计算，切忌马虎大意，本题属于难题，同学们要认真审题.

【解析】

先根据完全平方公式化简m并求出m的值，再把m的值代入，运用等比数列的求和公式得出结果.

【点评】

本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用及等比数列的求和公式.属于竞赛题目，有一定难度.注意求m的值时，看清字母a的取值范围.