前言

电磁（EM）形状因子（FF）描述了在强子受到高能光子激发但未发生裂变时，其动量重新分布的相互作用强度。这些形状因子在量子色动力学（QCD）的研究中具有不可或缺的作用，例如用于因子分解定理的发展和强子结构的深入研究。

它们提供了对强子内部结构的重要信息，有助于我们理解核子、介子等强子的性质和相互作用机制。

这些形状因子对于描述光子和强子的相互作用至关重要，它们一直是高能物理和核物理研究的热点领域。研究这些形状因子的性质和行为，对于深入了解强子的结构和强相互作用理论的发展具有重要意义。

一、π介子和电磁形状因数简介

研究π介子的电磁形状因子吸引了基于量子色动力学（QCD）的各种方法。晶格QCD（LQCD）最近在区间-1 GeV² ≤ q² ≤ 0 GeV²的评估能力得到提高[3]。对Dyson-Schwinger方程（DSE）的方法适用于低动量传递-5 GeV² ≤ q² ≤ -1 GeV² [4, 5]。

光锥和规则（基于算子产生式展开的LCSR计算）在中低动量传递-10 GeV² ≤ q² ≤ -1 GeV²时有效[6, 7]。而微绕QCD（pQCD）适用于大动量传递|q²|, q² ≳ 10 GeV²的过程[8, 9]。在本研究中，我们专注于基于k时间分解定理的pQCD研究。

采用横向动量来正则化终点发散，并采用恢复技术来抑制红外胶子辐射产生的大对数。具有大动量传递的过程主要由硬散射主导，可以用微扰QCD计算。

pQCD的一个优点是，当动量传递或不变质量很大时，类空间和类时间形状因子都是可计算的。这为我们提供了一种有效的手段来研究π介子的电磁形状因子在不同动量传递范围内的性质。

次主导扭曲光锥分布幅度（LCDA）的偏态分布导致了明显的手性增强效应，主导扭曲LCDA的贡献大于主导扭曲LCDA的贡献。这在非紫外线区成正比，其中π介子的质量为$m_{\pi}$，$m_u$和$m_d$分别是u夸克和d夸克的质量。

以前的pQCD计算中，通常固定了π介子质量为$m_{\pi^0} = \frac{m_{\pi}}{m_u + m_d}$，在1.74 GeV范围内。这导致了相应的较大不确定性被忽略。在前旋LCDA中选择最低的Gegenbauer矩$A_{\pi}^2$也会引入一定的不确定性。

因子分解和重正化尺度，$\mu_F$和$\mu_R$，通常设置为硬散射中的最大虚拟度$\mu_t = \text{max}(Q^2, 1/\beta)$，这$Q^2$是虚拟质量，$\beta$是参与者携带的纵向动量分数。

在π介子电磁辐射过程中，类空/类时转变中的典型尺度为$Q^2 - k_{\perp}^2$和$Q^2 + k_{\perp}^2$，其中$k_{\perp}$是介子中横向动量的共轭范围。选择合适的尺度$\mu_F$和$\mu_R$对于减小不确定性是重要的。

二、π介子的分布幅度与手性质量

提取π介子形状因子的直接方法是将精确的pQCD计算与实验测量进行比较。在实验方面，类空间形状因子通常通过电子-核子弹性散射[20]和电子产生的π介子介子过程[21,22]来测量。这些实验得到了较为精确的测量结果，但在中、大动量传递区域缺乏精确的测量。

类时空间形状因子米π^0A_π^2_1^H (e, e'π^+)n在动量传递区间-2.50 GeV² ≤ q² ≤ -0.25 GeV²被测量，例如同位旋矢量形状因子由Belle合作在动量传递区间衰变测量[23]，而BABAR合作在区间测量高精度的湮灭过程[24]。

BESIII合作在低动量传递上通过初始态辐射（ISR）方法测量了π介子的形状因子[25]，其中4 GeV² ≤ q² ≤ 3.125 GeV²的形状因子是通过τ衰变测量得到的，而0.6 GeV² ≤ q² ≤ 0.9 GeV²的形状因子是通过e+e-湮灭过程测量得到的。

目前为止的精确测量主要集中在谐振区域，而强大的pQCD计算在动量转移较大的区域是有效的。由于这种不匹配，直接将测量结果与pQCD计算进行比较变得困难。

在进行比较时，需要考虑实验测量和pQCD计算的不确定性，并在合适的动量传递范围内进行对应。为了解决这种不匹配问题，可能需要开发新的实验技术或者改进pQCD计算方法，以覆盖更广泛的动量传递范围并提高测量和计算的精确度。

为了克服实验测量与pQCD计算的不匹配，并提取非微扰参数，采用了色散关系方法，该方法在[7]中提出。该方法将类空间形状因子写成类时形状因子模平方的积分形式。

利用BABAR实验的数据来描述谐振区域的类时形状因子，采用pQCD方法来计算具有大动量传递/不变质量的类时和类空间形状因子。

在pQCD计算中，考虑了所有当前已知的次前导阶（NLO）校正[12、13、14、15]，并且对于双粒子和三粒子，我们采用高阶的扭曲四粒子LCDA进行功率展开[9、26、27]，以提高精度。

除了考虑BABAR实验测量的误差之外，我们还研究了pQCD计算中尺度选择的影响，并考虑了非微扰参数的重整化演化。

在以往的pQCD计算中，通常忽略了这些参数的影响。我们的工作旨在更全面地研究π介子形状因子，并通过色散关系方法结合实验数据和pQCD计算来提取非微扰参数，以增强对强子结构和强相互作用的理解。

三、色散关系

考虑到因果关系和柯西定理的解析性质，散射振幅的实部和虚部通过色散关系相互关联。在这种情况下，完整的π介子电磁形状因子可以写成物理区域中其虚部的积分，无需减法等式右侧(RHS)中类时形状因子的测量。

虚部信息可以通过Gounaris-Sakurai (GS)表示法和Kühn-Santamaria (KS)表示法等方法得到。这种标准的色散关系会引入模型依赖性，从而导致左侧(LHS)的类空间形状因子产生额外的不确定性。

为了摆脱模型依赖性，我们提出了模平方色散积分的方法[7]，该方法将π介子电磁形状因子写成了虚部的积分形式。这种方法允许我们直接从实验数据中获取虚部信息，并与pQCD计算进行比较，从而提取类空间形状因子而避免模型依赖性的问题。

通过这种模平方色散积分的方法，我们能够更准确地研究π介子的电磁形状因子，并降低由于色散关系带来的不确定性。这在研究强子结构和强相互作用理论时具有重要意义。

修改后的形式主义中，通过跳过类时形状因子虚部的重建，提高了色散关系的精度。然而，方程(2)中的(3)可能引入额外的模型依赖性。

在一些工作中，例如LCSR工作[7]，通过考虑共振态和高能尾部的贡献，对实验数据进行参数化，并使用GS模型和对偶共振模型（DRM）[32, 33]来描述数据。这些模型往往涉及一些参数，这会引入模型依赖性。

展示了π介子电磁形状因子的前导阶（LO）费曼。其中EM顶点用γ符号表示，而内部硬胶子的可能附着物用填充方框表示。表示外部介子中夸克线所携带的动量。x、y和z分别表示纵向动量分数和横向动量。

在类空间形状因子中，动量传递平方为q²=（p1-p2）²，而在类时间情况下则为q²=（p1+p2）²。EM电流用j_μ = (ūγμu - d̄γμd)来表示，它是由u夸克和d夸克构成的π介子的电流。这个电流是π介子电磁形状因子的一个重要组成部分。

随EM电流变化的π介子电磁形状因子的不变幅度。通过研究这样的不变幅度，我们可以更深入地了解π介子的电磁性质和结构。

我们从pQCD方法的角度研究了修正的色散关系。其中一个独特的优点是我们可以直接通过微扰QCD计算得到高能尾部的贡献。在实验测量中，在近共振区域，数据的样本密度大致在一些特定能量点附近，而远离共振区域的能量点较少。

为了处理这种不均匀的分布，我们采用插值技术来获取数据。然后，我们将方程(3)中的高能尾部转换为更广泛能量范围内的积分，例如在约0.01 GeV² ≤ s ≤ 0.002 GeV²，0.1 GeV² ≤ s ≤ 0.01 GeV²，0.01 GeV² ≤ s ≤ 0.001 GeV²等。

这样的研究方法有望降低模型依赖性，提高对π介子形状因子的精确理解，并为深入研究强子结构和强相互作用提供重要的信息。

四、结果与讨论

在这项工作中，我们展示了电子-正电子湮灭实验（BABAR合作）的数据，包括高能尾部的补充（洋红色区域），这些补充是通过pQCD计算预测的，包括两个粒子和三个粒子的扭曲幅度。pQCD计算与不确定性范围内的中间区域的数据相吻合。

我们描述了通过修正色散关系（式1）获得的类空间形状因子（式2）。完整结果Fπ^2（q^2）考虑了测试pQCD的高能尾部，评估结果由蓝色条带显示，而部分结果Fπ^2（q^2）不考虑高能尾部则以橙色显示。

高能尾部的贡献在大动量传递区域是不可忽视的，这归因于类时形状因子的对数表达式（式2）强化了高能尾部在色散关系中的作用。为了进行比较，我们还描述了主导功率（青色波段）和最高功率下的直接pQCD计算（洋红色曲线）。

仅考虑BABAR数据得到的结果的不确定性比前导扭曲pQCD预测要大，这表明直接用pQCD计算类空间形状因子不能得到令人满意的结果。为了解决这个问题，我们采用了最小的χ^2拟合方法，并在大动量传递区间10 GeV² ≤ q² ≤ 30 GeV²进行了拟合，其中pQCD计算是适用的。

我们进行了两种场景下的拟合，场景I中默认固定了π介子LCDA中的非微扰参数比例（Aπ2），而场景II考虑了pQCD评估中参数的尺度演化。在pQCD计算中，强子矩阵元的分解尺度以前是选择最大内部虚拟度。

为了检查因式分解和重整化尺度选择的影响，我们将其分别上下改变了25%相对于场景I中的常规值。符号A和B表示在pQCD计算中采用的尺度μt/4和5μt/4的拟合结果，其中μt是散射中的硬尺度，也是场景I中采用的尺度。

非微扰参数的尺度演化并没有对拟合结果产生显著的修改，这表明在之前的pQCD计算中将它们固定在默认尺度是合理的处理方式； 尺度选择的变化带来了20%到30%的修改结果，这揭示了在下一个前导阶QCD校正中对形状因子可能存在不可忽略的修正；

拟合结果对于π介子的质量（米π0）在当前数据精度下可以很好地控制，并且我们开发的用于提取非微扰参数的数据驱动方法并不太依赖于因式分解尺度的选择。

结语

受到谐振区域中π介子电磁形状因子的精确测量的启发，我们研究了具有模量平方色散关系的形状因子，其中在大的不变质量/动量传递中，线形区域是通过pQCD方法计算的，标记了在没有基于QCD的计算的情况下缺失的部分。

主要目标是提取π介子LCDA中的手性质量（米π0）和格根鲍尔系数（Aπ2），这些是变量微扰方法中的通用输入。我们通过将模平方色散关系得到的类空间形状因子与直接pQCD计算进行拟合，得到了结果：米π0 = 1.31 + 0.27 - 0.30 GeV和Aπ2 = 0.23 ± 0.26（按默认比例1 GeV）。

为了检查因式分解和归一化尺度选择的影响，我们通过对它们进行了25%的变化相对于传统的方法。我们提出的数据驱动方法对于提取非扰动参数具有鲁棒性，这意味着我们的方法对于处理尺度不确定性有一定的稳健性。

我们看到两个主要的努力方向。提高测量精度，特别是在接近最大s区域，可以减少从色散关系获得的类空间形状因子的不确定性，从而提高该方法提取这些参数的能力。进行次次前导阶QCD校正，以减少尺度选择的不确定性，并提高pQCD计算的精度。