海涅定理是用来证明函数极限存在的一个充分必要条件，它是根据数列极限存在与函数极限的关系发展而来
海涅定理：设f在u°(x。；
)上有定义，则
存在的充要条件为：对任何含于
u°(x。；)且以x。为极限的数列{
}，极限
都存在且相等。
接下来我们一起分析一下这个定理。
假设函数f的图形如图所示
函数图像
在点
的周围我们可以找到无穷多个数列
,
,……而且这些数列都以为极限。因为在实数轴上，实数轴上的每一点都代表一个实数，每个实数周围都密密麻麻分布着无穷多个实数，而这些实数可以组成无限多个以为极限的数列。
当n
∞时，有
f(
)
f(
)
f(
)f( )
……
所以，对任何含于u°(x。；)且以x。为极限的数列{}，极限都存在且相等。
这也就意味着存在。
最后我们根据上面的分析来证明一下这个定理。
证：首先我们来证明定理的必要性，我们现在已经知道存在
设=A，则
根据函数极限的定义可得 对
＞0，
＞0，当0＜
＜
时，有
＜ε
于是在（
）内会存在无穷多个以
为极限的数列（数列极限的致密性定理）
所以，对任何含于u°(x。；)且以x。为极限的数列{}，极限都存在且相等。
最后我们来证明这个定理的充分性，我们用反证法。
假设≠A，则
根据函数极限的定义，有
＞0 ，对
δ＞0，当0＜ ＜δ时，有
≥
现在我们取
＜δ
令
=
、
＝
、
、……、
，则
数列
的极限为
，再根据
的任意性
从而对于任意一个以为极限的数列，有≠A
这与已知条件“对任何含于u°(x。；)且以x。为极限的数列{}，极限都存在且相等。”相矛盾。
所以，存在
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