简谐振动的平衡位置在哪

运动学定义

如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动是一种简谐运动.

动力学定义

如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动.

一：简谐运动位移

在简谐运动中，“位移”是比较特别的，它是“相对平衡位置的位移”，即把平衡位置作为“起点”，振子（小球之类）所在位置是“终点”，因此这里说的振动的位移是“由平衡位置指向振子所在位置”。

简谐运动的位移、速度、加速度：

二：简谐运动的平衡位置

机械振动中的平衡位置指的是“振动物体回复力为0的位置”。并非一定是合力为零的位置，比如单摆。

三：简谐运动回复力的特征

回复力和位移之间满足关系：

F回 = － kx

四：简谐运动的周期性和对称性

1.周期性：

简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的位移x、速度v、加速度a、合外力F都随时间周期性变化。其周期等于简谐运动的周期。

2.对称性：

如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。

(1)时间的对称

①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。

②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。

(2)速度的对称

①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。

②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。

(3)位移的对称

①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。

②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。

类型一：一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；求该小球做简谐运动的可能周期。

〈答案〉16s/3或者16s

变式训练：弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3s，又经过0.2s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(AC)

A.1s/3

B.8s/15

C.1.4s

D.1.6s

类型二：如图所示，

一质点做简谱运动，0点为平衡位置，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1s，质点通过N点后再经过1s又第2次通过N点，在这2s内质点通过的总路程为12cm，点的振动周期和振幅分别为（B)

A.3s，6cm

B.4s，6cm

C.4s，9cm

D.2s，8cm

类型三：一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3s第一次到达某点M处，再经0.2s第二次到达M点，则其振动频率为（D)

A.0.4 Hz

B.0.8 Hz

C.2.5 Hz.

D.1.25 Hz.

类型四：一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝-0.1m；t=4s/3时刻x＝0.1m；t=4s时刻x＝0.1m；该子的振幅和周期可能为(ACD)

A0.1m，8s/3

B.0.1m，8s

C.0.2m. 8s/3

D.0.2m，8s

例题：.一弹簧振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点.t=0时振子的位移为-0.1 m;t=1 s时位移为0.1 m,则

(A) 若振幅为0.1 m,振子的周期可能为2s/3.

(B) 若振幅为0.1 m,振子的周期可能为4s/5.

(C) 若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s.

(D) 若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s.

解析:由弹簧振子的x-t图像进行分析.弹簧振子振动的位移设为x=Asin(ωt+φ0).若振幅为0.2 m,且t=0时刻,位移为-0.1 m, 即-0.1=0.2sinφ0,此时速度不为0,其振动方向可能远离平衡位置,振动图像如图1所示;振动方向也可能指向平衡位置,如图2所示.

图1 x-t图像分析1

图2 x-t图像分析2

对应Q1点:

1=T/2+nT(n∈N)，

即

T=2/(2n+1)，n=0，Tmax=2s.

对应Q2点:

即

.对应Q3点:

即

对应Q4点:

即

若振幅为0.1 m,且t=0时刻,位移为-0.1 m,此时速度为0;当t=1 s时,位移为0.1 m,则有

1=nT+T/2，

即

T=2/(2n+1)(n∈N)，

可见,

n=0，Tmax=2s；n=1，T=2s/3

本题选项(A)(D)正确.

例题：如图所示，

竖直轻弹簧两端分别与物块A、B相连，物块A、B所受重力均为mg，物块B放在固定于水平面上的压力传感器上，物块A在初始位置处于平衡状态，现对物块A施以大小为F＝mg的力将其下压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时（）

A.压力传感器的读数是零

B.压力传感器的读数是mg/2

C.压力传感器的读数是2mg

D.压力传感器的读数是mg

三：简谐运动与圆周运动

简谐运动与匀速圆周运动的关系动点P沿着半径大小为A、圆心为点O的圆，逆时针做匀速圆周运动，角速度为，以OD边为角度测量的起始边。

若点P经过点D位置开始计时，经过时间t转过的角度为θ，则有θ＝ωt。

以点O为原点，沿竖直向上建立坐标系Ox，则点P在x轴上的投影为点P₀，点P₀相对原点的位移为x，则有x＝Asin(ωt)

结论：弹簧振子的振动，可视为一个点以简谱运动的圆频率为角速度，在以振幅为半径、平衡位置为圆心的圆上做匀速圆周运动时，在弹簧轴线上投影的运动。

四：简谐运动的周期

简谐运动的周期由系统本身的特性决定，我们称之为系统的固有周期，对应的频率称为系统的固有频率。由上面的周期公式可知简谐运动的固有周期和固有频率都与振幅无关。

例题：某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，

树枝在10s内上下振动了6次。鸟飞走后，他把50g的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了12次。将50g的砝码换成500g砝码后，他发现树枝在15s内上下振动了6次。你估计鸟的质量最接近（）

A.50 g

B.200 g

C.500 g

D.550 g

五：单摆的周期

单摆周期的推导：

五：简谐运动的证明

一般来说，有弹簧参与的振动极有可能是简谐运动。

证明物体做简谐运动通常两种方法。

位移满足x=Asin(ωt+φ)

小球自由下落（忽略空气阻力）至竖直弹簧，从刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短（或从将弹簧压缩至最短到刚离开弹簧）的过程中

小球从A点（刚接触弹簧）到C点（将弹簧压缩至最短）的过程中速度先增大后减小、加速度先减小后增大，在B点（受力平衡）时速度最大、加速度为零；小球从C到A的过程中也是如此。

B点为平衡位置，小球的运动为简谐运动。

速度(蓝色)、加速度(红色)如下图所示：

例题：截面积为S，长为l的均匀木棍竖直浮在水面上.静止时，它浸入水中的部分长度为l₀，现将木棍稍向上提起，然后松手.试证明：松手后，木棍做简谐运动（水的阻力忽略不计）.

例题：钓鱼可以修身养性，颇受人们喜爱。如图为某鱼漂的示意图，

鱼漂上部可视为圆柱体。当鱼漂受到微小扰动而上下振动，某钓友发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面，向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面。忽略水的阻力和水面波动影响，鱼漂的振动为简谐运动则（）

A.鱼漂振动过程中机械能守恒

B.鱼漂受到重力，浮力，回复力的作用

C.M点到达水面时，鱼漂的动能最大

D.N点到达水面时，鱼漂的加速度最大

例题：如图所示，电荷量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，间距为d。若杆上套一带正电的小环C（图中未画出），带电体A、B和C均可视为点电荷。若小环C所带的电荷量为-q，将小环拉离平衡位置一小段位移x（|x|＝d）后由静止释放，计算小环C回到平衡位置所用时间。

理论和实验均可以证明：简谐运动是最简单、最基本的振动，其他复杂的振动都可以看作是由若干个不同的简谐运动合成的。

六：简谐运动的能量

简谐运动机械能守恒，机械能为E=kA²/2或者E=mv₀²/2。

势能和动能的变化频率是系统固有频率的两倍。系统做简谐运动时动能和势能在不停的相互转化，但总的机械能保持不变；简谐运动系统的总能量与振幅的平方成正比。

七：简谐运动的路程

1T内(一次全振动)路程一定是4A；T/2内路程一定是2A；T/4内路程可能是等于A,大于A，也可能小于A。

例题：下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图（a）所示。

以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图（b）所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ABD）

A.x从0.05m到0.15m的过程中，木棒的动能先增大后减小

B.x从0.21m到0.25m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小

C.x＝0.35m和x＝0.45m时，木棒的速度大小相等，方向相反

D.木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为(F₁-F₂)2ρSg

E.木棒的运动为向x轴正方向传播的机械横波，波速为0.4m/s